1.
Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera
bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se
devuelve.
Solución
a)
E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }
b)
E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral)
Oservemos
que en el caso a) el experimento es con repetición.
2.
Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al
azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a)
A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E: espacio muestral, de 20 elementos.
P(A)
= 8/20 = 2/5 (definición de
probabilidad).
b)
B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba bola al azar que NO sea
verde.
P(Bc)
= 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20
(propiedad 5)
3.
Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al
azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a)
con reemplazo, b) sin reemplazo
Solución:
R:
extraer bola roja
B: extraer bola blanca
E
= { RR, RB, BR, BB }
a)
Con reemplazo
RR,
extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) =
(3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3,
porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
RB,
extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) =
(3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3,
porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento).
BR,
extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10)
= 21/100 (propiedad 3, porque el suceso
B es independiente del R cuando hay reemplazamiento).
BB,
extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) =
(7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3,
porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento).
b)
Sin reemplazo
RR,
extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) =
(3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque
el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
RB,
extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) =
(3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque
el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento).
BR,
extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) =
(7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque
el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).
BB,
extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) =
(7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4,
porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento).
4.
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6
negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea blanca?
Solución
R:
extraer bola roja
B: extraer bola blanca
R
U B: extraer bola roja o blanca, P(R U
B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no
tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc:
NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B)
= 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
5.
En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos.
Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad
que un estudiante sea rubio.
Solución
H:
un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un
alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H
U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M)
6.
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben
hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos
uno de los viajeros al azar.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c)
¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que
SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
7.
De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al
azar.
a)
¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe
los sucesos:
A: "Mayor que 6" B:
"No obtener 6"
C : "Menor que 6"
escribiendo todos sus elementos.
c)
Hallar la probabilidad de los sucesos:
AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}.
B:
"No obtener 6" B =
{0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 +
9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos
que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes),
entonces P(A∩B) = 3/10
B'
= {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6},
entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
8.
Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la
probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución
a)
A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A)
= P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)
b)
B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0
=1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen
elementos comunes)
c)
P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156
=29/52.
d)
P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)
Los
cálculos anteriores son bajo el supuesto de que la baraja española de 40 cartas
tienen 10 oros y 10 copas, más información sobre la baraja española en la
página: http://www.salonhogar.net/Enciclopedia/Baraja_espanola/Indice.htm
9.
Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer
y ver la televisión. Los resultados son:
-
A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
-
A 92 personas les gusta leer.
-
A 47 personas les gusta ver la tele.
Si
elegimos al azar una de esas personas:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la
tele?
c)
¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución
A:
les gusta ver la tele
B: les gusta leer
P(A∩B)
= 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120
a)
P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120
(propiedad de eventos complementarios)
b)
P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)
c)
P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)
10.
Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
Solución
Hay
25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3);
(1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4);
(3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De
la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la
probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5.
(Definición de Probablidad).
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